寫在前面
矛盾是無處不在的 ， 數學正是由化解矛盾而發展起來的，這其中有很多非常深刻的矛盾值得人深思 。危機
數學史上貫穿了矛盾，同時也貫穿著人們對于矛盾的討論 。當一個矛盾激化到可以影響整個數學基礎的時候，就會產生數學危機 。而對于這種危機的化解，往往就是數學史上的新發展，可以將原本是數學拓展到更加深層次的領域上去 。
畢教主的噩夢
畢達哥拉斯，是人類歷史上一位著名的數學家 。他建立的必氏學派始終信奉著數是萬物的本源，正所謂“萬物皆數” 。世間萬物都是由數字按照一定比例和結構所構成的，并提出了一切數均可以表示為整數或者整數之比的概念 。
畢教主最為輝煌的成就就是證明了勾股定理，但是輝煌的背后也有著他自己的心酸 。
因為他在研究三角形的時候發現了三角形的三邊比不能表示成整數或者 整數之比 。
但是畢教主畢竟是一派之主，自己否定自己的理論未免有些太過于打臉，所以他選擇隱瞞，假裝什么都不知道 。
當然，這件事是瞞不住的 。一個叫希帕索斯的人就在當時提出一個問題：“邊長為1的正方形，其對角線的長度是多少？”
正是因為這個問題觸動了畢氏學派的理論根基，所以希帕索斯被處以拋入大海的刑罰 。
在之后便沒有人敢于質疑畢教主的理論 。兩百年后，歐多克索斯在畢教主理論基礎上建立了一套比較完善的比例理論，巧妙的避開了無理數的邏輯，并且在相當大程度上保留了畢氏學派的理論 ， 算是緩解了這次數學危機 。
但是他僅僅是通過幾何的方式避免直接接觸無理數 ， 這樣只是巧妙避開了人們的質疑 ， 但是并沒有真正解決這個危機 。
直到19世紀下半葉，實數理論建立后，無理數才被徹底的搞清楚，這樣一來無理數的合法地位才在數學大廈中真正建立，這持續了幾千年第一次數學危機宣告徹底解決 。
來自微積分中的幽靈
17世紀時牛頓與萊布尼茨各種獨立創立了以無窮小分析為基礎的微積分理論 。
所以當時的微積分又叫做無窮小分析 。雖然微積分的發明極大推動了數學研究的發展，但是畢竟初期建立的體系總有不完善的地方 。
而這次的不完善卻是致命的 。當時一個叫貝克萊的人提出一個悖論—— 無窮小量到底是不是0
因為在當時的體系中無窮小量即是0，又不是0，那么它到底是什么？
這讓微積分的建立者們很是惱火 。貝克萊也嘲笑無窮小量為“已死量的幽靈” 。
直到19世紀70年代 ， 魏爾斯特拉斯、柯西等人建立實數理論，并在實數理論上建立起極限的基本定理，才緩解了這無窮小的幽靈所引發的危機 。
【數學史上的三次大危機，你都了解嗎？】但是故事總是曲折的，魏爾斯特拉斯舉出了一個處處不可微但是卻連續的函數例子 ， 說明了直觀思維和幾何作圖的不可靠，必須訴諸嚴格的概念和推理 。
這導致了數學家們更加深入的討論實數論 ， 并導致了集合論的誕生 。關于無窮小量，阿拉丁認為它至今都是一個幽靈，因為關于實無限和潛無限在如今的數學體系中相輔相成，平分秋色 。
自相矛盾的理發師
集合論的產生可謂是打了很多數學家的臉 。因為當康托爾最初創立集合論體系時就遭到了很多數學家的抨擊 。但是久而久之 ， 這些數學家們發現從集合論出發可以建立原有的整個數學大廈，這些“厚顏無恥”的數學家們又表示“一切數學成果都可以建立在集合論上 ?！?br />
但是不久，一個叫羅素的人提出一個悖論，這個悖論可以通過一個故事描述：
在某個城市中有一位理發師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發技藝十分高超，譽滿全城 。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉 。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕 ， 自然都是那些不給自己刮臉的人 。
可是，有一天，這位理發師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉 ， 而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉 。
如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象 。那么，理發師宣稱 ， 他的元素，都是城里不屬于自身的那些集合 ， 并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他 。
那么他是否屬于他自己？
這個邏輯上的說法無懈可擊，瞬間擊垮了人們對于集合論的贊同，德國數學家弗雷格對于這個問題表示：一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，在他工作即將結束時，他的基礎體系崩潰了！
直到1931年庫爾特.哥德爾證明： - 任何一個數學系統，只要他是從有限的公理和基本的概念推導出來的，并且從中可以推導出自然數系統，就可以在其中找到一個命題，對于這個命題，我們既沒有辦法證明，也沒有辦法推翻 。
這就是哥德爾不完全定理 。他的證明結束了關于數學基礎的討論 ， 宣告了把數學徹底形式化的愿望是不可能實現的 。
阿拉丁有話說
歷史上三次數學危機，給人們帶來了很大麻煩，也有人因此慘死 。危機的產生是因為理論本身有缺陷 ， 但是就是通過解決這種缺陷，人類對于自然的認識才會上升到一個新的高度 。所以說每一次數學危機即是數學發展的產物，也是數學發展的思想源泉 。
