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正的多面體 為什么正多面體只有5種

生活百科

1、證明：設正多面體的每個面是正n邊行 ， 每個頂點是m條棱 ， 于是 ， 棱數E應是F（面數）與n的積的一半 ， 即Nf=2E（1式） 。同時 ， E應是V（頂點數）與M的積的一半 ， 即mV=2E（2式） 。由1式、2式 ， 得 ， F=2E/n, V=2E/m ， 代入歐拉公式V+F-E=2 ， 有2E/m+2E/n-E=2整理后 ， 得1/m+1/n=1/2+1/E 。
2、由于E是正整數 ， 所以1/E>0 。因此1/m+1/n>1/2（3式） ， 3式說明m,n不能同是大于3 ， 否則3式不成立 。另一方面 ， 由于m和n的意義（正多面體一個頂點處的棱數與多邊形的邊數）知 ， m>=3且n>=3 。因此m和n至少有一個等于3 。
3、當m=3時 ， 因為1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整數 ， 所以n只能是3 ， 4 ， 5 。
【正的多面體 為什么正多面體只有5種】4、同理n=3 ， m也只能是3 ， 4 ， 5 ， 所以n m 類型 ， 3 3 正四面體 ， 4 3 正六面體 ， 3 4 正八面體 ， 5 3 正十二面體 ， 3 5 正二十面體 ， 由于上述5種多面體確實可以用幾何方法作出 ， 而不可能有其他種類的正多面體 ， 所以正多面體只有5種 。

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