1、希巴斯（Hippasus ， 米太旁登地方人，公元前470年左右）發現了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即2的2次方根）永遠無法用最簡整數比（不可公度比）來表示，從而發現了第一個無理數 ， 推翻了畢達哥拉斯的著名理論 。
2、微積分的合理性遭到嚴重質疑 ， 險些要把整個微積分理論推翻 。
【數學史上的三大危機是什么 數學史上的三大危機分別是什么】3、羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成 ， 那S屬于S嗎？用通俗一點的話來說，小明有一天說：“我正在撒謊！”問小明到底撒謊還是說實話 。羅素悖論的可怕在于，它不像最大序數悖論或最大基數悖論那樣涉及集合高深知識 ， 它很簡單，卻可以輕松摧毀集合理論 。
