毫無疑問，e是電氣工程的支柱，它的“虛數”指數隨處可見:量子理論、電路，甚至理論數學 。e^i這個表達式在我們給它定義和解釋之前沒有任何意義 。我們將從討論指數e^i開始，然后逐步解釋更復雜的形式i^x
在深入研究這個問題之前 ， 需要對虛數單位i進行快速描述 。它通常被認為是“虛數” ， 因為這個值在標準數軸上不存在 。這里我將對i和一般復數進行不同的解釋，所有復數的集合通常稱為復平面，有一個很好的理由:復數可以寫成這種形式
對于兩個實數a和b，我們可以用平面上的點（a，b）來表示這個復數，這樣我們就可以把x軸看作“實”軸，y軸作為“虛”軸 。就像平面上的點一樣，我們可以把復數看作是向量空間的一部分（也就是說我們可以把它們相加） ， 但是復平面也含有乘法結構運算 。與一個實數相乘對應的是復數的“拉伸”，但與i相乘實際上代表了90度的旋轉 。讓我們來看幾個例子:
如果我們把1看作是水平軸上單位長度的向量 ， 那么乘以i等于旋轉90度，這將使它與y軸上的單位向量對齊，即虛單位i 。
【冪的含義 虛數：一個虛構指數的幾何意義】這個方程將i解釋為-1的平方根 。一個更好的解釋是從1開始，旋轉90度使它垂直于X軸，再旋轉90度迫使它回到x軸上，但指向左邊 。更幾何的解釋如下所示
從i的角度來看，我們可以對表達式i^n構建一個有意義的解釋:它表示n個連續的90度旋轉，或n*π/2的總旋轉 。這個函數的循環性質，在值{1，i，-1，-i}之間循環，如下所示 。
現在我們有了足夠的背景知識來討論虛數冪的含義 。看我們之前對指數的解釋，e^i表示在一個時間單位內以i速率增長的結果 。事實上，因為i只是一個旋轉，我們可以猜測“以i的速度增長”可能真的意味著“旋轉”，但要相信這個猜測 ， 我們將需要一些證明 。對于這個問題，回到我們對e^r的定義即增長率r除以單位區間的極限
但這一次 ， 增長率是一個90度的旋轉:i 。現在，我們將把這個作為e^i的定義
和之前一樣 ， 我們會通過觀察有限情況來獲得一些直觀的認識，從而達到極限 。假設n=5，這個可以寫成
在這里我們可以將括號中的每個量視為對向量1進行處理的一組“方向”向量 。在集合之后，我們有了新的向量1+i/5，這可以解釋為保持向量1不變，給它加上一個旋轉90度，再縮小5倍的值
將第二組括號相乘，然后將這個新的矢量作為輸入，并將其自身的一個副本旋轉90度 ， 并將其壓縮到正常長度的五分之一
執行接下來的三組方向，我們看到如下圖片出現:
因此，在我們最初的猜測中，似乎存在某種東西，即虛指數對某種旋轉進行編碼，在上面的圖中，我們可以看到，隨著每次旋轉，矢量的長度會略微增長 。但是當我們在極限中取越來越大的項時，長度的增加會越來越小，實際上，在極限中，我們從向量1開始 ， 在正方向上對它進行無窮小的旋轉，然后我們一遍又一遍地重復這個過程，慢慢地將原始向量向正方向旋轉得越來越多 。我們的極限值就是
我們可以通過數值計算，看到它到達點(0.540302,0.841471) 。點在到達終點的路上所追蹤的極限路徑如下圖所示 。
