有界函數不一定有極限，比如函數y=sinx，當x趨于無窮時，極限不存在 。有限個有界函數的和、差、積必有界 。極限存在只是函數有界的充分條件，而非必要條件，即函數有界但函數極限不一定存在 。
如果函數在某點連續，那么在這個點附近一定有一個鄰域，這個鄰域中函數是有界的 。
有界函數是設f（x）是區間E上的函數，若對于任意的x屬于E，存在常數m、M ， 使得m≤f（x）≤M，則稱f（x）是區間E上的有界函數 。其中m稱為f（x）在區間E上的下界，M稱為f（x）在區間E上的上界 。
有界函數并不一定是連續的 。根據定義，?在D上有上（下）界，則意味著值域?（D）是一個有上（下）界的數集 。根據確界原理，?在定義域上有上（下）確界 。
一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N 。由?（x）=sinx所定義的函數f：R→R是有界的 。當x越來越接近－1或1時 ， 函數的值就變得越來越大 。
【有界函數一定有極限嗎 有界函數不一定有極限】函數的性質：
1、單調性
閉區間上的單調函數必有界 。其逆命題不成立 。
2、連續性
閉區間上的連續函數必有界 。其逆命題不成立 。
3、可積性
閉區間上的可積函數必有界 。其逆命題不成立 。
相關概念：
如果一個數列的項數n趨向于無窮大時，數列的極限存在 ， 那么就稱這個數列收斂 。
而對于函數，如果一個函數的自變量趨向于X0（或∞）時 ， 它的因變量趨向某個特定值或者趨向∞那么就稱函數在X0（或無窮大）處有極限 。
若一個數列收斂 ， 那么這個數列就是有界數列，若一個函數在某點處有極限，那么這個函數在這個點處的去心領域內有界，也就是說局部有界 。
